LIZET YULE: Productos Notables mayo 27-2013

Tema: Productos Notables
Clase: Matemáticas

PRODUCTOS NOTABLES

Es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.

Factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

$c (a + b) = c a + c b \,$

Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es

$c (a + b) \,$ (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: ca y cb.

Ejemplo:

$3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,$

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

$(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,$

Un trinomio de la expresión siguiente: $a^2 + 2 a b + b^2 \;$ se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

$(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,$

En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.

Ejemplo:

$(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 \,$

Simplificando:

$(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,$

Producto de dos binomios con un término común

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término común se suma con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

$(x+a)(x+b)= x^2+(a+b)x+ab \,$