Materia: Matemáticas
Leyes de los exponentes y radicales
El día de hoy nuestro profesor nos enseño sobre los exponentes y radicales de esta manera:
Los exponentes también se llaman potencias o índice
Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de tres ideas:
1. El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces
2. Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir
| Y todas las reglas que siguen se basan en esas ideas. |
Leyes de los exponentes
Aquí están las leyes (las explicaciones están después):
| Ley | Ejemplo |
|---|---|
| x1 = x | 61 = 6 |
| x0 = 1 | 70 = 1 |
| x-1 = 1/x | 4-1 = 1/4 |
| xmxn = xm+n | x2x3 = x2+3 = x5 |
| xm/xn = xm-n | x4/x2 = x4-2 = x2 |
| (xm)n = xmn | (x2)3 = x2×3 = x6 |
| (xy)n = xnyn | (xy)3 = x3y3 |
| (x/y)n = xn/yn | (x/y)2 = x2 / y2 |
| x-n = 1/xn | x-3 = 1/x3 |
 |  |
Explicaciones de las leyes
Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo:
| Ejemplo: potencias de 5 | |||
|---|---|---|---|
| ... etc... |  | ||
| 52 | 1 × 5 × 5 | 25 | |
| 51 | 1 × 5 | 5 | |
| 50 | 1 | 1 | |
| 5-1 | 1 ÷ 5 | 0,2 | |
| 5-2 | 1 ÷ 5 ÷ 5 | 0,04 | |
| ... etc... | |||
verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye).
La ley que dice que xmxn = xm+n
En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, despuésotras "n" veces, en total "m+n" veces.
Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5
Así que x2x3 = x(2+3) = x5
La ley que dice que xm/xn = xm-n
Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso"n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.
Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2
(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)
Esta ley también te muestra por qué x0=1 :
Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1
La ley que dice que (xm)n = xmn
Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.
Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12
Así que (x3)4 = x3×4 = x12
La ley que dice que (xy)n = xnyn
Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo:
Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3
La ley que dice que (x/y)n = xn/yn
Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s
Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3
La ley que dice que
Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):
Ejemplo: 
Y eso es todo
Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto: siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta página.
Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0?
| Exponente positivo (n>0) | 0n = 0 |
| Exponente negativo (n<0) | ¡No definido! (Porque dividimos entre 0) |
| Exponente = 0 | Ummm ... ¡lee más abajo! |
El extraño caso de 00
Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 00 podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado": | x0 = 1, así que ... | 00 = 1 |
| 0n = 0, así que ... | 00 = 0 | |
| Cuando dudes... | 00 = "indeterminado" |
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